Giới hạn của dãy số gồm căn thức và tổng telescoping

1) Tách aₙ = bₙ + Sₙ, với bₙ = n(√(n²+4n+1) − n − 2) và Sₙ = Σ 1/(k(k+2)), k từ 1 đến n. 2) Nhân liên hợp: √(n²+4n+1) − (n+2) = (n²+4n+1 − (n+2)²)/(√(n²+4n+1) + n + 2) = −3/(√(n²+4n+1) + n + 2). 3) Do đó bₙ = −3n/(√(n²+4n+1) + n + 2) = −3/(√(1+4/n+1/n²) + 1 + 2/n) → −3/2. 4) Vì 1/(k(k+2)) = ½(1/k − 1/(k+2)) nên Sₙ = ½(1 + 1/2 − 1/(n+1) − 1/(n+2)) → ½·3/2 = 3/4. 5) lim aₙ = −3/2 + 3/4 = −3/4.